Prelimeraly design restrictions of a magnetic suspension

C.L.H. Winkelman Vortex Technologies
Update 4 13-03-07

Programma van voorlopige eisen/feiten/kenmerken voor magnetische stabilisatie
voor magnetisch zweven van een constructie door middel van permanente magneten.
Updates 1,2 en 3 geven de achtergrond voor deze opsomming.

1 De normale hefkracht van hefmagneten in afstotende opstelling is ongeveer

   Fx=C2*xⁿ

met n=~2,2 (ongeveer kwadratisch) en x de toenaderingsverplaatsing van positie vanuit een referentiepunt x=0 als de magneten relatief dicht bij elkaar staan. De exacte vorm is niet precies bekend en zou voor een commercieel ontwerp empirisch moeten worden vastgesteld. Vanuit relaties, die in publieke bronnen beschikbaar zijn, is de magneetkrachtformule benaderbaar met de polinominale vergelijking:

   Fx= a2x^-2 + a3x^-3 + a4x^-4 + . . . aqx^-q

(hier is x de positie gemeten vanuit een center tussen de "polen"). Waarin de term a2x² theoretisch zou gelden voor waarden van "monopolen" en waarden van x dicht bij 0. In de praktijk kunnen de "polen" van een staafmagneet niet dichter bij elkaar komen dan x=L waar L de lengte van de staafmagneet is. Voor waarden van net groter dan x=L/2 is de predominante relatie a22x^-2,2 en als de afstand groter is dan krijgt de exponent ook een grotere negatieve waarde. Op afstand x >>L heeft de relatie de predominante vorm 1/x⁴. Het is opmerkelijk dat voor gebruikelijke magneten de krachtenrelatie niet louter een 1/r²-relatie is maar dat de krachten op grote afstand zeer sterk dalen als een functie van afstand. Dit is niet in lijn met de simpele theoretische benadering voor magneetkrachten calculaties. Uiteraard is het voor magneten met een speciale vorm zeker waar dat een theoretische benadering van de krachten niet of nauwelijks mogelijk is. Hier komt dan ook de informatie aan het licht waarmee er in principe de eenvoudige conclusie dat "zweven met ferromagneten" niet mogelijk zou zijn omzeild zou kunnen worden. Mijn stelling dat het wel mogelijk is wordt hiermede versterkt.

2 De verstorende laterale kracht vanwege een niet-in-lijn opstelling van staaf- of schijfmagneten in afstotende opstelling is vanuit gepubliceerde data ongeveer Fy=C1*y voor zover naar verhouding y "klein" is t.a.z.v. de magneetafmetingen. Een meer accurate relatie zou ook een polinoom zijn:

   Fy=b1y + b2y² + b3y³ + a4y⁴ + . . . bqy^q

In dit geval ontstaat er een stijgende kracht voor zover de afstand x tussen de magneten gelijk blijft.

De eis voor stabiel evenwicht van een platform is dat voor het gehele platform de gezamenlijk krachtensommen SOM(Fx)=SOM(Fy) voor y=x in de twee laterale richtingen met de voorwaarde dat x is begrensd tot een waarde waarvoor de vergelijkingen foor Fx en Fy zijn zoals aangegeven is;

3 De krachten in (1) en (2) zijn sterk afhankelijk van de lengte L en de diameter D van de magneten en specifiek is de Ratio Fx/Fy een functie van deze dimensies. Voorts zijn er opties voor gebruik van andere magneetvormen zoals ring- en cilindermagneten. Het een en ander is louter van belang voor het optimaliseren van de bedoelde magneetopstelling. Het is verder belangrijk dat voor een zwevende constructie in de praktijk de waarde van de zweefhoogte ook variabel is s: x voor de hefmagneten is niet constant. Voor de uitvoering van een model is echter een constante zweefhoogte voldoende om te bewijzen dat het zweven mogelijk is;

4 Vanuit Earnshaw's theorema t.a.z.v. de condities voor een stabiele zwevende magneetophanging met meerdere magnetische hefpunten voor een enkel platform is het in principe noodzakelijk dat de magneetvelden van de stabilisatiemagneten ontkoppeld zijn van de hefmagneetvelden. Het is onmogelijk om dit 100% te bereiken met ferromagnetisch shunts omdat de aanwezigheid van het ferro-materiaal voor een afwijkende positie altijd door meerdere magneten benaderd wordt zodat daardoor een aantrekkende kracht ontstaat vanuit het ijzer in de richting van de afwijking en het is juist bedoeld dat er een kracht ontstaat tegen de richting van de afwijking. Ferro-shunting kan dus hier niet gebruikt worden.Voorlopig wordt het ontkoppelingsontwerp gemaximaliseerd door 1) positioneren van de stabilisatiemagneten zo ver mogelijk verwijderd van de hefmagneten en 2) door slim ontwerp van de constructie van de hef- en stabilisatiesamenstellingen kunnen deze samenstellingen gemaakt worden door het bereik van de magneetvelden te minimaliseren en de korte afstand krachten te maximaliseren terwijl de lange afstandkrachten tot nagenoeg 0 worden teruggebracht vanuit de relatie dat op lange afstand de kracht-afstand relatie a4x^-4 is;

5 De hefkrachten en de laterale verstorende krachten van magneten in afstotende opstelling zijn vanuit algemene kenmerken als volgt, vereenvoudigd naar de predominante vorm, bekeken vanuit de conditie dat x=y voor de ontwerp-zweefpositie (hier is "x" weer de benaderingsverplaatsing vanuit een willekeurig x=0 referentiepunt, zoals onder Punt 1):

De laterale verstorende kracht is bij benadering lineair" Fv=C1*x
De normale hefkracht is bij benadering kwadratisch met Fh=C2*x^2,2
De hefkracht Fh valt af als de laterale verstoring x stijgt zodat dFh/dx=0 voor x=0. Hoe de hefkracht Fh als een functie van x verandert is een functie van de pooldiameters dan wel van de het pooloppervlak.

Kort gesteld, voor grote magneten valt deze kracht langzaam af met stijgende afwijking x en voor kleine magneten valt deze kracht snel af, voor zover het hier gaat om kwalitatieve zaken kan gesteld worden dat op het evenwichtpunt x=0 de zwevende magneet zal voor een bepaalde kleine waarde van +/- x nagenoeg een constante hefkracht hebben. Dus als er op de zwevende magneet een last W rust zal voor +/- x binnen bepaalde waarde van x de last W niet noemenswaardig zakken. Dit is belangrijk zodat voor de beweging x van de last de stabilisatiemagneten ook niet zullen zakken en dus geen extra verticale naar beneden gerichte krachten zullen ontwikkelen. Hierdoor zal de laterale verstoring alleen laterale krachten in de stabilisatiemagneten ontwikkelen. Binnen deze marge zal het stabilisatieproces het zwevende platform niet verticaal verstoren. Zie figuur 1 hieronder:

6 Stabiliteits-overwegingen

De kracht Fh=Fz (in deze grafiek links-rechts aflopend) is de hefkracht van de hefmagneten om de last W te dragen als een functie van de afwijking x;
De hefkracht Fz (ongeveer kwadratische curve) is gelijk aan de stabilisatiekracht van de stabilisatiemagneten die een afwijking x ondergaan omdat de normaal krachten van de stabilisatiemagneten;

Opmerkingen:

Het bovenste is een vereenvoudigde weergave voor een enkel hefpunt. In het ontwerp van het model moet rekening worden gehouden met het feit dat voor mijn bedachte opstelling is er slechts 1 stabilisatie samenstelling per twee hefmagneten. Dit houdt in dat voor 2* Fv (lateraal) maar 1* een Fz van toe passing is voor stabilisatie. In principe kan ik dus een extra stabilisatie opstelling er bij doen om deze verhouding 1:1 te maken. Dit zal in het ontwerp uiteindelijk al dan niet besloten worden aan de hand van accurate expressies voor de magneten zoals uit de informatie die ik opgevraagd heb zal bekend worden;
Een nadere analyse van de hefkrachten en de stabilisatiekrachten op basis van de kwalitatieve relaties tussen de van toepassing zijnde laterale magneet verschuiving toont aan dat in theorie voor de magneten er zeker een potentiaalput zal ontstaan zoals nodig is voor een stabiele zweefpositie. Deze conclusie tot stand gekomen vanuit een analyse van de kwalitatieve vorm van de krachten. Deze potentiaalput zit echter niet met 100% zekerheid op de neutrale positie y=0 in een willekeurig ontwerp van een zweefconstructie. De positie en vorm van de potentiaalput is afhankelijk van ontwerpdetails;
De positie en vorm van de potentiaalput wordt bepaald door de kwalitatieve zowel als de kwantitatieve kracht-afstand vergelijking. In een eenvoudig voorbeeld met hefkracht Fx=C1x^2,2 is gelijk aan Fv=C2x voor stabiliteit krijg je deze evenwichtspositie voor de constructie(merk op dat op x=0 beide krachten 0 zijn en dat dit misschien en onstabiel evenwicht is). Zie bijvoorbeeld de vereenvoudigde grafiek van Fig. 2:

7 Fx is de normale hefkracht relatie als x een verstoring is vanaf het theoretische evenwichtspunt x=0. Fv is de kracht die de voor een afwijking x de zwevende constructie een grotere afwijking wil geven (de reden waarvoor deze situatie normaliter onstabiel is op x=0 omdat de verstorende kracht stijgt). De hefkracht Fx van de stabilisatiemagneet is bedoeld de kracht Fv tegen te houden het is in dit voorbeeld duidelijk dat de stabilisatiekracht C1x^2,2 niet groot genoeg is om de verstorende kracht C2x tegen te houden.et is hier duidelijk dat de verstorende kracht lineair is en alleen op het punt xc in balans is met de stabilisatiekracht. In dit geval is punt cx de positie van een potentiaalput in het vlak van de verplaatsing xc. Voor circulaire staafmagneten dan wel schijfmagneten is deze positie xc een cirkel om de as x=0 en als gevolg is de potentiaalput een ringvormig potentiaalkanaal. Zie Fig. 3

8 De y in Fig. 3 is niet dezelfde "y" als voorheen werd gebruikt voor de laterale afwijking. In deze grafiek is de laterale afwijking x en is in het xy-vlak getekend als rc. Er is een radiale symmetrie voor circulaire hefmagneten. Met deze opstelling is het mogelijk om de stabiele zweefpositie voor de ring xc af te wijzen voor een praktische zweefconstructie of te argumenteren dat deze stabiele magnetische ophanging niet stabiel is op het punt x=r=0. Deze argumenten wijs ik van de hand: in de doelstelling voor het maken van een constructie van zweefmodel zijn geen specifieke eisen gesteld aan de hoedanigheid van de stabiliteit: het ging er louter om dat er een stabiele zweefpostitie wel of niet mogelijk zou zijn. In Fig. 3 zijn er een oneindig aantal stabiele zweefpostites te realiseren. Hier hebben we een conditie die het Earnshaw-theorema omzeilt;

9 In principe zijn de hefkrachten Fh en Fv te kiezen in het ontwerp en kunnen we de hefkrachten Fh voor de stabilisatiemagneten groter maken en de verstorende krachten Fv kleiner maken (bijvoorbeeld door meerdere stabilisatie magneten te gebruiken) door de magneetopstellingen te optimaliseren (o.a. eventueel door magneten met verschillende vormen te gebruiken zodat de ratio Fx/Fv gemaximaliseerd wordt en daardoor dat de waarde xc zo klein mogelijk wordt). Dit zou in de praktijk betekenen dat de onstabiele regio voor r<rc in principe te minimaliseren is en accepteerbaar klein gehouden kan worden.

10 Voor het ontwerp kan bijvoorbeeld gekozen worden dat de hefkrachten met lage stijfheid worden opgezet en dat de stabilisatie magneten met grote stijfheid worden opgezet. De stabilisatiekracht C1x^2,2 wordt dan zeer krachtig voor een relatief zwakke laterale verstorende kracht C2x. Zie Fig. 4 voor dit krachtenspel:

Met deze keuze van krachten in Fig. 4 ontslaat er een zweefconstructie die zeer gevoelig is voor verticale beweging en dat zou betekenen dat er nagenoeg geen verticale afwijking mag ontstaan. Indien er toch een grote verticale afwijking wordt aangebracht wordt zal de verticale afwijking van de stabilisatiemagneten een relatief grote verticale neerwaartse kracht ontwikkelen en daardoor wordt het verticale evenwicht snel onstabiel. Het is daarom zeer belangrijk om het ontwerp van tevoren goed te kunnen analyseren met een accurate kwantitatieve vergelijkingen.

Het bouwen van een model zonder deze accurate analyse zou waarschijnlijk tot een mislukking leiden. Tot op het moment dat ik de juiste krachten van de te verkrijgen magneten kan berekenen ga ik geen duur model bouwen. Waarschijnlijk zal ik wel een model bouwen met mijn 24 kleine neodymium magneten die ik reeds heb. Ik heb twee mooie aluminium platen waarmee een klein model te realiseren is maar ik heb ook voor deze magneten geen formule voor de onderlinge krachten.